对于陆舟而言,和本科生们上课,也算是一种对知识点的回顾了。
若是往常的话,这些对他来说算是显而易见的东西,基本上都是不会去考虑的。也只有在这个时候,他才能暂时放下研究本身,思考那些显而易见的东西,究竟为何显而易见。
“……很多人都知道,黎曼猜想是解析数论中最重要也是最困难的猜想之一,它是关于黎曼zeta函数的零点分布的一个假设。但很少有人知道,黎曼猜想是为何而被提出来?”
“事实上,在黎曼猜想之前,还存在着一个被无数学者研究了数个世纪的更庞大的命题,即,素数的分布规律。”
说着,陆舟在黑板上写下了几个数字,回头看向了教室里的学生们继续说道。
“通过最基本的算术定理,即便是初中生也知道,每个正整数都可以表示成素数因子的乘积,如果不考虑素数因子的排列顺序,那么这种表示就是唯一的,因此素数也成为了构成正整数的基本元素。”
“然而素数的分布规律,却并不像它的定义那样浅显易懂。甚至于可以说,整个解析数论学科,最基本的任务之一,也是研究素数的分布规律。”
看着教室里的学生们渐渐进入了状态,陆舟知道自己这堂课差不多已经成功了一半。
黎曼猜想虽然是一个很复杂的问题,但想要理解它其实并没有一般人想象的那么困难,真正困难的是如何解决它……
顿了顿,陆舟继续说道。
“在解析数论中,人们通常研究函数π(x),并且用它来表示不超过x的素数的个数。研究素数的分布规律是解析数论的基本任务,而研究π(x)的性态,则是解析数论的中心问题。”
“关于π(x)的问题,高斯和勒让德都做过大量的数值计算,并且猜想当x趋向于无穷大时,π(x)~x/lnx,这个猜想后来被证明,也就是我们所了解的素数定理。”
“欧几里得用初等方法证明了素数有无穷多个,而欧拉则引入了一个乘积公式,这些先行者都为分析研究素数问题提供了可能性,然而一直到19世纪50年代,人们都没有找到合适的方法去证明高斯提出的猜想,直到一位德国数学家,发表了一篇题为《论不超过一个给定值的素数的个数》的论文,才为对π(x)的研究开辟了一条新的道路。”
“很多人可能已经猜到了这位大牛是谁,是的,他就是我要说的黎曼,而他在这篇论文中引入的黎曼zeta函数,更是影响了未来的一个半世纪。”
说着陆舟转身面向黑板,在黑板上写下了一行算式。
【ζ(s)=Σ1/n^s】
环视了一眼鸦雀无声的教室,陆舟继续说道。
“就是这玩意儿……看上去不是很难,对吗?”
众学生:“
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