大概是在年初那会儿,陆舟还没有将陈阳从燕大数学中心挖来的时候,这位陈教授便在研究霍奇猜想了。
陆舟还记得,当时他在黑板上研究自己的超椭圆曲线分析法,并且用了一种非常巧妙的方法,将这个原本为准黎曼猜想设计的数学工具,改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的代数拓扑,以及其定义子簇的多项式方程所表述的几何关联问题的研究上。
当初也正是因为这一手漂亮的操作,让陆舟不禁动了爱才之心,将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。
现在已经过去快一年了,关于霍奇猜想的课题仍然没有丝毫的进展,再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的事情,以至于陆舟都快把这件事给忘了。
“走,去我办公室说。”
带着陈阳来到了自己的办公室,陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板,并且将自己的记号笔递到了他的手上。
没有将时间浪费在客套上,接过了笔之后,站在白板前的陈阳思索了片刻,首先在白板上随手画了个圆,然后在旁边标记了S,并写下了一行表达式。
“……对于紧致无边的曲面S,其Gauss曲率K可以在整个曲面上进行积分。”
一边写着,陈阳一边继续说道。
“众所周知的是,一个曲面不一定只容有一个度量,所以我尝试对S的度量进行了更换。在更换了度量之后,相应的Gauss曲率K同样也会发生改变,但积分值却与曲面的度量无关,而只与曲面的Euler示性数X(S)有关,利用这一性质,我们可以——”
看着白板上的算式,陆舟眉毛轻轻抬了下,饶有兴趣地说道。
“Gauss-Bonnet公式?”
手中的笔停住,陈阳点了下头说道。
“正是。”
说罢,他将Gauss-Bonnet公式写了上去。
看到这画龙点睛的一笔,陆舟的脸上感兴趣的神色愈发浓烈了。
事实上,他大概已经猜到,陈阳是打算干什么了。
根据高维黎曼流形M的性质,Gauss曲率可以推广为截面曲率,它的值可以由黎曼曲率的张量决定。至于其被积函数,则是由曲率张量组成的很复杂的代数式——即Gauss-Bonnet被积函数。
至于其在整个流形上的积分,则是由这个流形的Euler示性数X(M)所决定。
利用这些性质,便能够将Hodge理论推广到完备非紧流形中。
这些深刻的数学意义,是由陈省身教授得到的,也就是著名的Gauss–Bonnet–陈公式中的数学内涵。
再结合阿提亚爵士的L2上同调方法,沿着这条思路继续走下去,搞不好还真能把这个猜想给证出来。
当然,具体该如何证明,还需要深入研究一下就是
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